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第五講函數(shù)的基本概念與性質(zhì)

來源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:22:52

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線，也是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念．它使我們從研究常量發(fā)展到研究變量之間的關(guān)系，這是對(duì)事物認(rèn)識(shí)的一大飛躍，而且對(duì)于函數(shù)及其圖像的研究，使我們把數(shù)與形結(jié)合起來了．學(xué)習(xí)函數(shù)，不僅要掌握基本的概念，而且要把解析式、圖像和性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合起來，在解題中自覺地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖像和性質(zhì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行深入的研究．

　　1．求函數(shù)值和函數(shù)表達(dá)式

　　對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若任取x=a(a為一常數(shù))，則可求出所對(duì)應(yīng)的y值f(a)，此時(shí)y的值就稱為當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值．我們經(jīng)常會(huì)遇到求函數(shù)值與確定函數(shù)表達(dá)式的問題．

　　例1 已知f(x-1)=19x²＋55x-44，求f(x)．

　　解法1 令y=x-1，則x=y+1，代入原式有

　　　　　f(y)=19(y＋1)²＋55(y＋1)-44

　　　　　　�。�19y²＋93y＋30，

所以　　 f(x)=19x²+93x＋30．

　　解法2 f(x-1)=19(x-1)²＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x²＋93x＋30．

　　可．

　　例3 已知函數(shù)f(x)=ax⁵-bx³＋x＋5，其中a，b為常數(shù)．若f(5)=7，求f(-5)．

　　解由題設(shè)

　　　　　　　　f(-x)=-ax⁵＋bx³-x＋5

　　　　　　　　　　 =-(ax⁵-bx³＋x＋5)+10

　　　　　　　　　　 =-f(x)+10，

所以

f(-5)=-f(5)＋10=3．

　　例4 函數(shù)f(x)的定義域是全體實(shí)數(shù)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)．

　　解設(shè)f(0)=k，令y=0代入已知條件得

f(x)=f(x+0)=f(x?0)=f(0)=k，

即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)=k．所以

f(x)=f(19)=99，

所以f(1999)=99．　

　　2．建立函數(shù)關(guān)系式

　　例5 直線l1過點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，直線l²：y=mx＋b過點(diǎn)C(1，0)，且把△AOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)的那部分是一個(gè)三角形，如圖3－1．設(shè)此三角形的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并畫出圖像．

　　解因?yàn)?/FONT>l₂過點(diǎn)C(1，0)，所以m＋b=0，即b=-m．

　　設(shè)l₂與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-m)，且0＜-m≤2(這是因?yàn)辄c(diǎn)D在線段OA上，且不能與O點(diǎn)重合)，即-2≤m＜0．

故S的函數(shù)解析式為

　　例6 已知矩形的長(zhǎng)大于寬的2倍，周長(zhǎng)為12．從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊

x，試寫出梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

　　解設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)BC大于寬AB的2倍．由于周長(zhǎng)為12，故長(zhǎng)與寬滿足4＜BC＜6，0＜AB＜2．

由題意，有如下兩種情形：

　　CE₁＝x，BE₁＝BC-x，AB＝CD＝2(BC-x)，所以

(2AB＋x)+AB=6，

所以

　　3．含絕對(duì)值的函數(shù)

　　一次函數(shù)的圖像是一條直線，含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像是由若干條線段和射線所組成的折線；二次函數(shù)的圖像是拋物線，而y=|ax²＋bx＋c|的圖像是將y=ax²+bx+c在x軸下方的圖像按x軸為對(duì)稱軸翻到x軸的上方．對(duì)于一些其他的含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)和方程的圖像，需要按區(qū)間分段討論．

　　例7 作函數(shù)y=|3-x|+|x-1|的圖像．

　　解當(dāng)x＜1時(shí)，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；

　　當(dāng)1≤x＜3時(shí)，y=(3-x)＋(x-1)=2；當(dāng)x≥3時(shí)，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以

它的圖像如圖3－3所示．

　　例8 作函數(shù)y=|x²-5x+6|的圖像．

　　解當(dāng)x≤2或x≥3時(shí)，x²-5x+6≥0，于是y=x²-5x+6；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，x²-5x+6＜0，于是y=-(x²-5x+6)．所以

于是，得圖像如圖3－4所示．

　　例9 點(diǎn)(x，y)滿足方程

|x-1|+|y+2|=2，

求它的圖像所圍成區(qū)域的面積．

　　解當(dāng)x≥1，y≥-2時(shí)，x-1＋y＋2=2，即

y=-x+1．

當(dāng)x≥1，x＜-2時(shí)，x-1-(y＋2)=2，即

y=x-5．

當(dāng)x＜1，y≥-2時(shí)，-x+1+y＋2=2，即

y=x-1．

當(dāng)x＜1，y＜-2時(shí)，-x＋1-(y＋2)=2，即

y=-x-3．

于是，所得圖像如圖3－5所示．

　　由此可知，|x-1|+|y+2|=2的圖像是一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為4，邊長(zhǎng)為2

　　例10 m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程x²-4|x|＋5=m有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？

　　解法1 將原方程變形為

x²-4|x|＋4=m-1．

令y=x²-4|x|+4=m-1，則

它的圖像如圖3－6，而y=m-1是一條與x軸平行的直線．原方程有四個(gè)互不相等的實(shí)根，即直線應(yīng)與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)．由圖像可知，當(dāng)0＜m-1＜4，即1＜m＜5時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，當(dāng)1＜m＜5時(shí)，方程x²-4|x|＋5=m有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根．

　　說明本題是一個(gè)方程問題，我們利用圖形來研究，這是一種非常重要的思想方法――數(shù)形結(jié)合法．當(dāng)然，本題不用圖像也是可以解的，下面給出解法，請(qǐng)讀者比較一下．

　　解法2 原方程變形為

(|x|-2)²＝m-1，

練習(xí)五

　　1．填空：

　　(1)已知f(x-1)=19x²＋55x-44，則f(x)=_______．

　　(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，f(x²+1)=x⁴＋5x²＋3，那么對(duì)所有實(shí)數(shù)x，f(x²-1)=_______．

　　(3)設(shè)x與y²成反比例，y與z²成正比例．當(dāng)x=24時(shí)，y=2；當(dāng)y=18時(shí)，z=3，則z=1時(shí)，x=_______．

　　(4)已知y=2x²＋mx＋5的值恒為正，且m為實(shí)數(shù)，則m的范圍是_______．

函數(shù)，且當(dāng)x=2，x=3時(shí)，y的值都為19，則y的解析式為y=_______．

　　(6)如果y＋m與x＋n成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，則y與x間的函數(shù)關(guān)系式是y=_______．

　　2．在平面直角坐標(biāo)系里，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一次函數(shù)y=-x＋6的圖像上的點(diǎn)，原點(diǎn)是O，如果△OPA的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．