圓幾乎是中考數(shù)學(xué)必考的壓軸題型之一，因?yàn)榕c圓結(jié)合的圖形形狀有很多，比如三角形、四邊形等基本圖形�？梢�(jiàn)其綜合性、靈活性非常高。而要做好與圓相關(guān)的題目，我們通常少不了要做與圓有關(guān)的輔助線(xiàn)，今天我們就來(lái)討論一下怎么做與圓有關(guān)的輔助線(xiàn)。

一、輔助線(xiàn)作法

1、圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的的圓心角度數(shù)的一半.

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

推論2:直徑所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑;

輔助線(xiàn)方法：①若條件給出圓周角或者圓心角的度數(shù)或等量關(guān)系

那么我們就添加輔助線(xiàn)，找出同弧或等弧所對(duì)的圓周角或圓心角;

②見(jiàn)到直徑，那么我們就找直徑所對(duì)的圓周角。

2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

輔助線(xiàn)或使用方法：

①計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)，或證明線(xiàn)段相等，考慮垂徑定理;

②一直線(xiàn)過(guò)圓心的情況，就要想到證某條弦被該直線(xiàn)垂直平分;

③若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果

3、切線(xiàn)判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

切線(xiàn)的性質(zhì)定理:圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心.

所以如果一條直線(xiàn)具備以下三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè)：

①垂直于切線(xiàn); ②過(guò)切點(diǎn); ③過(guò)圓心.

輔助線(xiàn)方法：見(jiàn)到切線(xiàn)尤其是要證明相切關(guān)系，那么我們就連過(guò)切點(diǎn)的半徑。

4、弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。

輔助線(xiàn)方法：見(jiàn)到弦切角就作出它所對(duì)應(yīng)的圓周角或圓心角。

5、兩圓相交

輔助線(xiàn)方法：連接公共弦和兩個(gè)圓心。

二、相關(guān)定理對(duì)應(yīng)例題解析

2.1、圓周角定理

方法技巧：見(jiàn)到直徑，那么我們就找直徑所對(duì)的圓周角

2.2、垂徑定理

例3、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=4，tanB=3.以AB為直徑作⊙O，交邊DC于E、F兩點(diǎn).

(1)求證：DE=CF;

(2)求：直徑AB的長(zhǎng).

(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥DC，垂足為H.

∵AD∥BC，∠ADC=90°，OH⊥DC，

∴∠BCN=∠OHC=∠ADC=90°.

∴AD∥OH∥BC.

又∵OA=OB.

∴DH=HC.

∵OH⊥DC，OH過(guò)圓心，

∴EH=HF，

∴DH﹣EH=HC﹣HF.

即：DE=CF.

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，∠AGB=90°，

∵∠AGB=∠BCN=90°，

∴AG∥DC.

∵AD∥BC，

∴AD=CG.

∵AD=2，BC=4，

∴BG=BC﹣CG=2.

在Rt△AGB中，∵tanB=3，

∴AG=BG•tanB=2×3=6.

方法技巧：計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)，或證明線(xiàn)段相等，考慮垂徑定理

例4、如圖4-10(a)所示，A、B、C在⊙O上，∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，AE⊥BP于E，求證：AE過(guò)圓心O.

方法技巧：要證“一直線(xiàn)過(guò)圓心”的情況，就要想到證以這條直線(xiàn)為弦的垂直平分線(xiàn)，所以補(bǔ)齊圖中圖形，由垂徑定理即可得證.

2.3、切線(xiàn)判定定理

例5、如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，∠APB=60°，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC，BC.

(1)求證：四邊形ACBP是菱形;

(2)若⊙O的半徑為1，求菱形ACBP的面積.

方法技巧：見(jiàn)到切線(xiàn)尤其是要證明相切關(guān)系，那么我們就連過(guò)切點(diǎn)的半徑

例6、如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線(xiàn)與⊙O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且PC=PE.

(1)求AC、AD的長(zhǎng);

(2)試判斷直線(xiàn)PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

輔助線(xiàn)方法：見(jiàn)到弦切角就作出它所對(duì)應(yīng)的圓周角或圓心角

3.4、弦切角定理

3.5、兩圓相交

例8、如圖所示，⊙O1和⊙O2交于D、E，A在⊙O1上，AD、AE分別交⊙O2于B、C.求證：AO1⊥BC.www-2

證明;如圖4-7(b)所示，連接DE，得∠ADE=∠C.

設(shè)AO1交⊙O1于F，由于同圓中同一條弦所對(duì)的同側(cè)的圓周角相等，

∴∠AFE=∠ADE.

又∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠EAF+∠C=90°，即AO1⊥BC.

方法技巧：與兩圓相交，連接公共弦和兩個(gè)圓心

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